В конфликтной ситуации участвуют две стороны а государственная налоговая инспекция

Обновлено: 10.08.2022

Антагонистическая игра – игра с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.


Игроки B1 B2 B3 B4 a = min(Ai)
A1 36 37 3 12 3
A2 24 1 6 91 1
A3 42 60 10 16 10
b = max(Bi) 42 60 10 91
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3. Стратегия xi0 , которая максимизирует показатель эффективности αi есть максиминная стратегия игрока А . Нижняя цена игры: α = maxi=1,2,3minj=1,

В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А - государственная налоговая инспекция; В - налогоплательщик. Результаты их стратегий представлены в виде платежной матрицы антагонистической игры А=(aij):

B1 B2 B3 B4
A1 36 37 3 12
A2 24 1 6 91
A3 42 60 10 16
Найти:
а) показатели эффективности и неэффективности стратегий игроков;
б) верхнюю и нижнюю цены игры;
в) максиминные и минимаксные стратегии игроков;
г) ситуации, удовлетворительные для игроков А и В;
д) оптимальные стратегии игроков;
е) седловые точки игры и седловые точки матрицы игры;
ж) общее и частное решения игры.

Форма заказа новой работы

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Фрагменты работ

Антагонистическая игра – игра с нулевой суммой, в которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.


Игроки B1 B2 B3 B4 a = min(Ai)
A1 36 37 3 12 3
A2 24 1 6 91 1
A3 42 60 10 16 10
b = max(Bi) 42 60 10 91
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3. Стратегия xi0 , которая максимизирует показатель эффективности αi есть максиминная стратегия игрока А . Нижняя цена игры: α = maxi=1,2,3minj=1,

В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А - государственная налоговая инспекция; В - налогоплательщик. Результаты их стратегий представлены в виде платежной матрицы антагонистической игры А=(aij):

B1 B2 B3 B4
A1 36 37 3 12
A2 24 1 6 91
A3 42 60 10 16
Найти:
а) показатели эффективности и неэффективности стратегий игроков;
б) верхнюю и нижнюю цены игры;
в) максиминные и минимаксные стратегии игроков;
г) ситуации, удовлетворительные для игроков А и В;
д) оптимальные стратегии игроков;
е) седловые точки игры и седловые точки матрицы игры;
ж) общее и частное решения игры.

Купить эту работу

В конфликтной ситуации участвуют две стороны А государственная налоговая инспекция

Эмоджи

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А – государственная налоговая инспекция, В – налогоплательщик с определённым годовым доходом, налог с которого составляет Т усл. ед. У стороны А два возможных способа поведения. Один из них, А1, состоит в контролировании дохода налогоплательщика В и взимании с него: - налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительному; - налога в размере Т и штрафа в размере W, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Второй способ поведения А2 - не контролировать доход налогоплательщика В вовсе. У стороны В - три стратегии: В1 - заявить о действительном доходе; В2 - заявить доход, меньший действительного, и, следовательно, налог С с заявленного дохода будет меньше Т; В3 - скрыть доход, тогда не надо будет платить налог. Составить платёжную матрицу - матрицу выигрышей игрока А.

Решение

Платежная матрица (матрица выигрышей игрока А) имеет вид:
В1 В2 В3
А1 р11 р12 р13
А2 р21 р22 р23
Рассчитаем выигрыши игрока А при соответствующих ходах игрока А и В:
а11 = Т – налоговая инспекция контролирует доход налогоплательщика, налогоплательщик заявил действительный доход, соответственно налогоплательщик должен заплатить налог в размере Т;
а12 = T+W – налоговая инспекция контролирует доход налогоплательщика, налогоплательщик заявил доход меньше действительного, соответственно налогоплательщик должен заплатить налог в размере Т с действительного дохода и штраф W;
а13 = Т+W - налоговая инспекция контролирует доход налогоплательщика, налогоплательщик скрыл свой доход, соответственно налогоплательщик должен заплатить налог в размере Т с действительного дохода и штраф W;
а21 = Т - налоговая инспекция не контролирует доход налогоплательщика, налогоплательщик заявил действительный доход, соответственно налогоплательщик должен заплатить налог в размере Т;
а22 = С - налоговая инспекция не контролирует доход налогоплательщика, налогоплательщик заявил доход меньше действительного, соответственно налогоплательщик должен заплатить налог в размере С (налог с заявленного дохода);
а23 – налоговая инспекция не контролирует доход налогоплательщика, налогоплательщик скрыл свой доход, соответственно налогоплательщик заплатит налог в размере 0 усл

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

Эмоджи

и получи доступ ко всей экосистеме Автор24

Эмоджи

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Условие

В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А – государственная налоговая инспекция; В – налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц. У стороны А два возможных способа поведения. Один из них (А1) состоит в контролировании дохода налогоплательщика В и взимании с него: – налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности, – налога в размере Т и штрафа в размере W, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Второй способ поведения А2 – не контролировать доход налогоплательщика B. У стороны В три стратегии поведения: В1 – заявить о действительном доходе; B2 – заявить доход, меньший действительного, и, следовательно, налог С с заявленного дохода будет меньше Т; В3 – скрыть доход, тогда не надо будет платить налог. Составить платежную матрицу – матрицу выигрышей игрока А. Определить верхнюю и нижнюю цены игры (в чистых стратегиях), максиминные (чистые) стратегии игрока А и минимаксные (чистые) стратегии игрока В. Положив Т = 13, W = 16, С = 8, свести игру к задаче линейного программирования и найти оптимальные (смешанные) стратегии игроков А и В и цену игры. Как следует действовать игрокам А и В, если они придерживаются оптимальной стратегии?

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Составляем платежную матрицу (матрица выигрышей игрока А):
B1 B2 B3
A1 13 29 29
A2 13 8 0
В игровой ситуации (A1, B1) выигрыш a11 = T = 13 (налоговая инспекция контролирует доход налогоплательщика и взимает налог в размере T, так как налогоплательщик заявил о действительном доходе).
В игровой ситуации (A1, B2) выигрыш a12 = T + W = 13 + 16 = 29 (налоговая инспекция контролирует доход налогоплательщика и взимает налог в размере T плюс штраф в размере W, так как налогоплательщик заявил доход, меньший действительного).
В игровой ситуации (A1, B3) выигрыш a13 = T + W = 13 + 16 = 29 (налоговая инспекция контролирует доход налогоплательщика и взимает налог в размере T плюс штраф в размере W, так как налогоплательщик скрыл весь свой доход).
В игровой ситуации (A2, B1) выигрыш a21 = T = 13 (налоговая инспекция не контролирует доход налогоплательщика, но он честно заявил о своем действительном доходе и уплатил налог в размере T).
В игровой ситуации (A2, B2) выигрыш a22 = С = 8 (налоговая инспекция не контролирует доход налогоплательщика, поэтому он заявил доход, меньший действительного, и уплатил ме́ньший налог в размере С).
В игровой ситуации (A2, B3) выигрыш a23 = 0 (налоговая инспекция не контролирует доход налогоплательщика, поэтому он скрыл весь свой доход и не уплатил налог).
Определяем верхнюю и нижнюю цены игры (в чистых стратегиях), а также максиминные (чистые) стратегии игрока А и минимаксные (чистые) стратегии игрока В.
B1 B2 B3 min
A1 13 29 29 13
A2 13 8 0 0
max 13 29 29
Анализируем платежную матрицу и для каждой чистой стратегии Ai первого игрока A находим минимальное значение αi ожидаемого выигрыша:
1) для чистой стратегии A1 имеем α1 = min(13, 29, 29) = 13;
2) для чистой стратегии A2 имеем α2 = min(13, 8, 0) = 0.
Теперь из всех αi выбираем наибольшее α = maxi(αi) и определяем соответствующую ему чистую стратегию Ai. Получаем: α = max(13, 0) = 13. Таким образом, максиминная стратегия A1 будет наиболее предпочтительной в данных условиях стратегией игрока А. Число α = 13 является нижней ценой игры (максимином). Оно показывает гарантированный выигрыш игрока A, то есть какой минимальный выигрыш он может получить при любых действиях игрока В.
Снова анализируем платежную матрицу и для каждой чистой стратегии Bj второго игрока B находим максимальное значение βj возможного проигрыша:
1) для чистой стратегии B1 имеем β1 = max(13, 13) = 13;
2) для чистой стратегии B2 имеем β2 = max(29, 8) = 29;
3) для чистой стратегии B3 имеем β3 = max(29, 0) = 29.
Теперь из всех βj выбираем наименьшее β = minj(βj) и определяем соответствующую ему чистую стратегию Bj. Получаем: β = min(13, 29, 29) = 13. Таким образом, минимаксная стратегия B1 будет наиболее предпочтительной в данных условиях стратегией игрока B. Число β = 13 является верхней ценой игры (минимаксом). Оно показывает гарантированный проигрыш игрока B, то есть какой минимальный проигрыш он может получить при любых действиях игрока A.
Нижняя цена игры α = 13 равна верхней цене игры β = 13. Это значит, что игра имеет седловую точку. Соответствующий седловой точке элемент a11 = 13 является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Его значение является чистой ценой игры v = α = β = 13. Для игрока А оптимальной стратегией является чистая стратегия A1, для игрока В оптимальной стратегией является чистая стратегия B1.
Если игроки А и В придерживаются оптимальной стратегии, то им следует действовать таким образом:
1) государственная налоговая инспекция контролирует доход налогоплательщика и взимает с него налог в размере T = 13, если доход заявлен и соответствует действительности, или взимает с него налог в размере T = 13 плюс штраф в размере W = 16, если налогоплательщик заявил в декларации доход меньше действительного или скрыл свой доход вовсе;
2) налогоплательщик честно заявляет о своем действительном доходе.
Сводим нашу игру к задаче линейного программирования (ЛП) и находим оптимальные (смешанные) стратегии игроков А и В и цену игры.
В матричной игре с платёжной матрицей
B1 B2 B3
A1 13 29 29
A2 13 8 0
определим такие значения вероятностей выбора стратегий для игрока A (p1, p2) и для игрока B (q1, q2, q3), при которых их выигрыши достигали бы своих оптимальных значений.
Так как данная платежная матрица не содержит отрицательных элементов, то цена нашей игры α ≤ v ≤ β при оптимальной стратегии будет положительной.
Если игрок В применяет только чистые стратегии, то при каждой из них выигрыш игрока А будет не меньше, чем v:
13·p1 + 13·p2 ≥ v,
29·p1 + 8·p2 ≥ v,
13·p1 + 0·p2 ≥ v.
Разделим левую и правую часть каждого из неравенств на положительную величину v и введем обозначения: x1 = p1 / v; x2 = p2 / v

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

Эмоджи

и получи доступ ко всей экосистеме Автор24

.
Теперь неравенства можно переписать в следующем виде:
13·x1 + 13·x 2 ≥ 1,
29·x1 + 8·x2 ≥ 1,
13·x1 + 0·x2 ≥ 1,
где x1, x2 – неотрицательные переменные.
Так как p1 + p2 = 1, то переменные x1, x2 удовлетворяют условию x1 + x2 = 1 / v.
Учитывая, что игрок А стремится максимизировать v, получаем следующую задачу линейного программирования:
Zx = x1 + x2 min;
13·x1 + 13·x 2 ≥ 1,
29·x1 + 8·x2 ≥ 1,
13·x1 + 0·x2 ≥ 1,
x1, x2 ≥ 0.
Теперь из решения задачи ЛП находим цену игры v и оптимальную стратегию SA по формулам: v = 1 / Zx; SA = (p1; p2) = (x1 · v; x2 · v).
Аналогично находим оптимальную стратегию игрока В. Если игрок А применяет только чистые стратегии, то при каждой из них проигрыш игрока В будет не больше, чем v:
13·q1 + 29·q2 + 29·q3 ≤ v,
13·q1 + 8·q2 + 0·q3 ≤ v.
Разделим левую и правую части неравенств на положительную величину v и введем обозначения: y1 = q1 / v; y2 = q2 / v; y3 = q3 / v.
Теперь неравенства можно переписать в следующем виде:
13·y1 + 29·y2 + 29·y3 ≤ 1,
13·y1 + 8·y2 + 0·y3 ≤ 1,
где y1, y2, y3 – неотрицательные переменные.
Так как q1 + q2 + q3 = 1, то переменные y1, y2, y3 удовлетворяют условию y1 + y2 + y3 = 1 / v.
Учитывая, что игрок B стремится минимизировать положительную цену v, получаем следующую задачу ЛП:
Zy = y1 + y2 + y3 max;
13·y1 + 29·y2 + 29·y3 ≤ 1,
13·y1 + 8·y2 + 0·y3 ≤ 1,
y1, y2, y3 ≥ 0.
Теперь из решения задачи ЛП находим цену игры v и оптимальную стратегию SB по формулам: v = 1 / Zy; SB = (q1; q2; q2) = (y1 · v; y2 · v; y3 · v).
Решаем задачу ЛП для игрока А:
Zx = x1 + x2 min;
13·x1 + 13·x 2 ≥ 1,
29·x1 + 8·x2 ≥ 1,
13·x1 + 0·x2 ≥ 1,
x1, x2 ≥ 0.
Применяем графический метод, так как задача содержит две переменные.
В системе координат x1Ox2 строим область допустимых решений (ОДР) системы неравенств. Для этого неравенства системы заменяем равенствами и получаем уравнения прямых, образующих границу ОДР. При построении прямые выделяем цветом.
Определяем множество решений первого неравенства 13·x1 + 13·x 2 ≥ 1. Решением уравнения 13·x1 + 13·x 2 = 1 являются такие точки (–1/100; 2/23) и (1/10; –3/130). По этим точкам строим прямую, выделенную синим цветом. Множество решений строгого неравенства 13·x1 + 13·x 2 > 1 определяем при помощи проверочной точки (0; 0), координаты которой подставляем в неравенство. Так как неравенство не выполняется, то стрелки на прямой направляем в сторону от точки (0; 0).
Определяем множество решений второго неравенства 29·x1 + 8·x2 ≥ 1. Решением уравнения 29·x1 + 8·x2 = 1 являются точки (0; 1/8) и (1/25; –1/50). По этим точкам строим прямую, выделенную оранжевым цветом. Множество решений строгого неравенства 29·x1 + 8·x2 > 1 определяем при помощи проверочной точки (0; 0), координаты которой подставляем в неравенство. Так как неравенство не выполняется, то стрелки на прямой направляем в сторону от точки (0; 0).
Определяем множество решений третьего неравенства 13·x1 + 0·x2 ≥ 1. Решением уравнения 13·x1 + 0·x2 = 1 являются точки (1/13; –3/100) и (1/13; 7/50). По этим точкам строим прямую, выделенную красным цветом

Abstract. The paper is devoted to the principle of applied-ness in the study of mathematics on economic specialties in higher educational institutions. To this end, it is revealed what is meant by a focus on practical application of teaching mathematics. On the example of studying some crystals of linear algebra shows how this principle can be implemented on lectures and seminars.

Под прикладной направленностью изучения научной дисциплины понимают, как правило, связь обучения с жизнью, теории с практикой. Только в рамках прикладной математики можно продемонстрировать студентам важность математических методов как универсального инструмента, предназначенного для познания мира и для решения задач, в частности экономических.

Прикладной аспект имеет и немалое воспитательное значение, так как повышает культурный уровень учащихся, развивает их интеллект, расширяет кругозор, формирует научное мировоззрение.

Методика прикладной направленности преподавания математики основывается на психолого-педагогическом принципе деятельностного подхода, который не навязывает обучаемым готового решения, а активизирует их поиск способов построения математических моделей и создает мотивы для изучения математики.

Наряду с общими целями математического образования обучение математике на экономических специальностях имеет специальную цель – формирование у учащихся стиля мышления, близкого к прикладному. Данный стиль предполагает формирование умения моделировать реальные процессы, а также выбирать нужный для решения конкретной задачи алгоритм или математический метод.

Важным видом учебной деятельности, в процессе которой студентами усваивается математическая теория, развиваются их творческие способности, формируется математическое мышление, является решение математических задач. Эффективность обучения во многом зависит от их отбора, конструирования и организации.

Прикладные задачи должны стать обязательной частью системы упражнений по каждому изучаемому разделу математики. Включение таких задач в систему упражнений, с одной стороны, показывает, как используется математический аппарат при построении теории в других науках, а с другой стороны, наполняет абстрактную математическую теорию содержанием, связанным со всеми сферами человеческой деятельности. Прикладное содержание упражнений повышает научность обучения и его доступность. С помощью прикладных задач перед учащимися раскрывается практическая значимость математики, универсальность ее методов.

Другим аспектом прикладной направленности является обучение студентов методу математического моделирования, основному методу решения прикладных задач. Для формирования навыков математического моделирования важно владеть общими умениями составлять модели. Для этого необходимо понимать суть математического моделирования, знать его основные этапы, требования к моделям, их общие характеристики.

На начальном этапе изучения курса математики в вузе достаточно, чтобы студенты понимали, из каких этапов состоит процесс математического моделирования и как реализуются эти этапы при решении конкретных прикладных задач.

Из методической литературы известно, что процесс математического моделирования состоит из трех этапов: 1) формализации, перевода предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов (построение математической модели); 2) решение задачи внутри модели; 3) интерпретация полученного результата в рамках исходной задачи (перевод результата на естественный язык задачи).

Предполагается, что выпускники школ уже обладают некоторыми знаниями и навыками в математическом моделировании, например, умеют определить тип задачи и составить уравнение или системы уравнений при решении текстовых задач. Однако этих знаний и умений недостаточно для создания математических моделей при решении прикладных задач в вузе.

Практика показывает, что наибольшие трудности у студентов возникают на первом этапе. В вузе же основное внимание уделяется второму этапу, так как основная масса решаемых на занятиях по математике задач уже представлена в формализованном виде, т. е. сформулирована на математическом языке. Поэтому имеет смысл выделить последовательность основных действий, которые позволяют построить математическую модель. Данная последовательность определяется типом задачи, следовательно, необходимо знакомить учащихся с алгоритмом построения математической модели при разборе каждого нового типа задач.

Студенты экономических специальностей начинают изучение курса математики с раздела «Линейная алгебра». Это довольно формализованный раздел, в котором много аксиоматических определений понятий, трудно усваиваемых учащимися. Для повышения познавательного интереса к изучению дисциплины, облегчения усвоения, а также мотивации учебной деятельности необходимо включать в лекционно-семинарские занятия прикладные задачи, в которых используются рассмотренные теоретические факты. Стоит также отметить, что одной из основных целей данной дисциплины является формирование знаний по линейной алгебре, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности.

Приведем примеры прикладных задач, которые могут быть решены при изучении некоторых разделов курса «Линейная алгебра», и опишем методику работы с данными задачами.

При изучении темы «Матрицы, действия над матрицами» можно рассмотреть задачи, приводящие к необходимости составления матриц. Это могут быть, например, задачи на составление платежных матриц. Включение таких задач в лекционный материал, а также в семинарские занятия поможет студентам понять, где на практике встречаются рассматриваемые понятия.

Пример 1. В конфликтной ситуации участвует две стороны: А – государственная налоговая инспекция, В – налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет 5000 у. д. е.

У стороны А возможны два способа поведения: А1 – контролирование дохода налогоплательщика В и взимание с него: налога 5000, если доход заявлен и соответствует действительному; налог в размере 5000 и штраф в размере 2500, если заявленный в декларации доход меньше действительного или в случае сокрытия дохода. Второй способ поведения А2 – не контролировать доход налогоплательщика вовсе.

У стороны В три стратегии поведения: В1 – заявить о действительном доходе; В2 – заявить доход меньше действительного, и, следовательно, налог с заявленного дохода будет меньше и составит 3000 у. д. е.; В3 – скрыть доход, тогда не надо будет платить налог.

Формализовать данную ситуацию [1].

Для формализации ситуации, описанной в задаче, удобно использовать матрицу, элементами которой являются денежные суммы, уплаченные в налоговую инспекцию. Так как результат выигрыша зависит от действий налоговой инспекции (два варианта) и того, какой линии поведения будет придерживаться налогоплательщик (три варианта), то полученная матрица будет иметь размер 2 на 3. Элементы матрицы – это суммы выплат налогоплательщиком, легко просчитываемые в каждой из ситуаций. В результате получаем матрицу, которую назовем матрицей выигрыша игрока А.

Данная задача может быть решена на лекции, на практическом занятии по этой теме можно предложить более сложную задачу.

Пример 2. Ежемесячно страховая компания страхует 100 объектов фирмы В. Каждый объект страхуется на 1000 руб. Страховщик забирает себе 10% от страховой суммы при заключении контракта. В следующем году страховщик намерен увеличить свой доход путем повышения ставки на 1, 2 и 3%.

Страхующая фирма не намерена увеличивать расходы на страхование, поэтому готова уменьшить количество страхующихся объектов на 5, 10 или 15 штук.

Смоделируйте дальнейшее сотрудничество страховой компании со страхователем, построив матрицу ее выигрышей, определите, при каких условиях оно остается выгодным для страховщика [2].

Для построения матрицы выигрышей страховой компании перечислим возможные действия (стратегии) страховой компании и страхующей свои объекты фирмы В.

У страховой компании три стратегии:

- увеличить ставку на 1% (ставка станет 11%);

- увеличить ставку на 2% (ставка станет 12%);

- увеличить ставку на 3% (ставка станет 13%).

У фирмы-страхователя также три варианта поведения:

- уменьшить количество страхуемых объектов на 5 штук (будет 95);

- уменьшить количество страхуемых объектов на 10 штук (будет 90);

- уменьшить количество страхуемых объектов на 15 штук (будет 85).

Выигрыши страховой фирмы в каждой из описанных ситуаций равны разности первоначальной прибыли и той суммы, которую получает фирма в изменившихся условиях. Первоначальная прибыль составляла 10 000 руб. (1000 руб. × 0,1 × 100 шт.). Покажем для примера, как найти элемент : .

Аналогично можно найти все остальные элементы матрицы, которая в итоге будет иметь следующий вид:

Анализ полученной матрицы позволяет сделать вывод, что сотрудничество с фирмой-страхователем остается выгодным для страховой фирмы во всех случаях, кроме двух, когда число страхуемых объектов будет уменьшено на 10 и 15 штук, а ставка фирмы будет увеличена только на 1%.

Рассмотрим примеры задач, в которых требуется не только составить математическую модель, но и решить задачу, а также интерпретировать полученный результат.

Пример 3. Предприятие производит три типа продукции, используя четыре вида ресурсов. Норма затрат ресурсов задана матрицей затрат

Пусть за определенный промежуток времени предприятие выпустило 100 ед. продукции первого типа, 80 ед. продукции второго типа и 110 ед. продукции третьего типа. Стоимость единицы ресурса первого вида составляет 10 у. д. е., для ресурсов второго, третьего и четвертого видов она составляет соответственно 20, 10, 10 у. д. е.

Определить: а) матрицу S – полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени; б) полную стоимость всех затраченных за данный промежуток времени ресурсов [3].

При решении задачи следует обсудить с учащимися, что показывают элементы матрицы А. Так, элементы первой строки показывают, сколько ресурсов данного вида расходуется на производство единицы продукции каждого из трех типов. Аналогично можно интерпретировать каждое из чисел второй, третьей и четвертой строк. Это позволит осознанно найти способ решения, который сводится к умножению матриц. По условию задачи можно составить матрицу Х, элементы которой соответствуют количеству произведенной за указанное время продукции. Так как производится три типа продукции, матрица состоит из трех элементов и имеет вид Матрицу полных затрат ресурсов получим, умножив матрицу А на Х.

Чтобы ответить на второй вопрос, составим матрицу стоимости ресурсов. Так как ресурсов четыре вида, матрица состоит из четырех элементов, обозначим ее Р: Для подсчета полной стоимости затраченных на производство всей продукции ресурсов умножим матрицу S и Р. Получим Таким образом, полная стоимость затраченных за указанный промежуток времени ресурсов составит 39 900 у. д. е.

Следующая тема, которая изучается в разделе «Линейная алгебра», – это «Системы линейных уравнений и методы их решения». Студенты первого курса знакомы с задачами, решаемыми с помощью модели, приводящей к системе уравнений. В школьном курсе алгебры рассматриваются задачи, решаемые с помощью систем как линейных, так и нелинейных уравнений. Поэтому при разборе прикладных задач на семинарских занятиях необходимо опереться на опыт и знания, полученные в школе. Особенностью решения подобных задач в вузе является решение систем линейных уравнений, содержащих более двух неизвестных. От студента требуется не только составить систему, отражающую задачную ситуацию, но еще и выбрать наиболее простой для решения полученной системы метод.

Пример 4. Швейная фабрика в течение трех дней производила костюмы, плащи и куртки. Объемы выпуска продукции и затраты на производство за эти дни заданы в таблице (в у. е.).

2 Теория игр Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках. Целью теории игр является выработка рекомендаций по рациональному образу действий участников в конфликтных ситуациях, то есть определение оптимальной стратегии каждого из них.

3 1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. Пусть на рынке располагаются 2 фирмы: лизинговая компания «Оренбурглизинг» и предприятие ОАО «Орскток», которое нуждается в новом оборудовании. Компания «Оренбурглизинг» может предоставить оборудование в лизинг-а 1, предоставить денежные средства в кредит-а 2, сдать оборудование на прокат-а 3 или продать данное оборудование-а 4. А предприятие ОАО «Орскток» может купить необходимое оборудование за счет собственных средств-b1, взять оборудование в лизинг-b2, взять кредит у компании «Оренбурглизинг» для покупки оборудования-b3 или взять оборудование на прокат-b4. Выигрыши компании «Оренбурглизинг» заданы в таблице. Необходимо: 1) Разработать программное средство для решения игры в чистых стратегиях (ввод данных вручную и из текстового файла, возможность приведения матрицы, алгоритм нахождения седловой точки); 2) Определить оптимальные стратегии лизинговой компании «Оренбурглизинг» и предприятия ОАО «Орскток»; 3) Провести экономическую интерпретацию результатов.

4 1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 a1a a2a a3a a4a Таблица исходных данных:

5 1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. Игрок А - «Оренбурглизинг» Игрок B - ОАО «Орскток» С помощью разработанной программы найдем стратегии игроков A и B.

6 1. Отыскание оптимальных стратегий игроков при игре с чистыми стратегиями. Вывод: Игрок А предоставляет денежные средства в кредит - а 2; Игрок B покупает необходимое оборудование за счет собственных средств - b1.

7 2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях В конфликтной ситуации участвуют две стороны: А – государственная налоговая инспекция; В – налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц. У стороны А два возможных способа поведения. Один из них А1 состоит в контролировании дохода налогоплательщика В и взимании с него: - налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности, - налога в размере Т и штрафа в размере К, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Второй способ поведения А2 – не контролировать доход налогоплательщика В. У стороны В три стратегии поведения: В1 – заявить о действительном доходе; В2 – заявить доход, меньший действительного, и,следовательно, налог С с заявленного дохода будет меньше Т; В3 – скрыть доход и не платить налог. Необходимо: 1) Составить матрицу игры; 2) Проанализировать игру на наличие седловой точки, на основе ранее разработанного ПО; 3) Сформулировать задачу линейного программирования для каждого игрока в общем виде и решить её использую стандартное ПО (программа DVSIM и MS Excel); 4) Определить оптимальные стратегии поведения для налоговой инспекции и налогоплательщика.

8 2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях B1B1B2B2B3B3 A1A1TT+KT+KT+KT+K A2A2TC0 B1B1B2B2B3B3 A1A11231 A2A21290 Таблицы исходных данных:

9 2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях Игрок А - Государственная налоговая инспекция Игрок B - Налогоплательщик с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т условных денежных единиц. С помощью ранее разработанной программы найдем стратегии игроков A и B.

10 2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях Продолжаем дальнейшие вычисления в программе MS Excel. V=1/0, =12 p1= 0, *12=1 p2=1-1=0 Мы получаем оптимальные решения для игрока А, т.е. значения х 1, х 2, при этих значениях мы получим минимальное значение.

11 2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях ν=1/0, =12; q1=1; q2=0; q3=0; Мы получаем оптимальные решения для игрока B,т.е значения y1, y2, y3, при этих значениях мы получим минимальное значение.

12 2. Игры с нулевой суммой в смешанных стратегиях Вывод: Оптимальной стратегией для игрока А является: А1 - контролирование дохода налогоплательщика В и взимании с него: - налога в размере Т, если доход заявлен и соответствует действительности, - налога в размере Т и штрафа в размере К, если заявленный в декларации доход меньше действительного, или в случае сокрытия всего дохода. Оптимальной стратегией для игрока B является: B1 - заявить о действительном доходе.

13 3. Оптимальные стратегии в играх с природой Транспортному предприятию «Х» необходимо определить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги. Спрос не известен, но ожидается, что он примет одно из четырёх значений. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей предприятия (с точки зрения затрат). Отклонение от этих уровней приводит к дополнительным затратам. Необходимо определить оптимальную стратегию предприятия, если возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей заданы в таблице 3. Для этого: 1) Разработать программное средство, реализующее выбор стратегий по критериям максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0.5), Байесовские критерии (максимального ожидаемого среднего выигрыша, минимального ожидаемого среднего риска); 2) Проанализировать полученные результаты

14 3. Оптимальные стратегии в играх с природой Возможн ости, тыс. тонн Варианты спроса, тыс. тонн Таблица исходных данных:

15 3. Оптимальные стратегии в играх с природой Игрок А – Транспортное предприятие Игрок B - Природа. С помощью разработанной программы найдем стратегии игроков A и B.

16 3. Оптимальные стратегии в играх с природой

17 Вывод: В ходе решения наиболее лучшим вариантом выбора стратегии, будет стратегия А2. Провозные возможности предприятия должны быть на уровне 12 тонн.

18 4. Решение статистических игр Производится сравнение различных инвестиционных проектов Пр 1, Пр 2, …, Прm. Для реализации каждого из проектов необходима определенная величина капитальных вложений К=,, величины Кi являются управляемыми (контролируемыми) факторами. Каждому проекту соответствует определенное значение себестоимости продукции, которую предполагается выпускать при реализации проекта. Совокупность значений себестоимости продукции представляется в виде: Величины Cj на начальных этапах выполнения проекта точно определить невозможно, поэтому они считаются неконтролируемыми факторами. Каждой паре Ki, Cj, соответствует определенное значение приведенных годовых затрат, определяемых по формуле:, где EH – нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений. Выбрать наилучшее байесовское действие в статистической игре без проведения эксперимента. Найти наилучшие стратегии компании с проведением эксперимента, если заданы вектор априорных вероятностей состояний рынка Р=(П1, П2, П3, П4) и матрица эксперимента.

19 4. Решение статистических игр MRCЕн M=40.7 Р1Р2Р3Р4 0,10,2 0,5 θ٤ (θ)L(a, θ) A1A2A3A4 Θ1Θ Θ2Θ Θ3Θ Θ4Θ Таблицы исходных данных: P(x i | Dj )D1D1 D2D2 D3D3 D4 X X X3X X4X

20 4. Решение статистических игр Поиск наилучшего байесовского действия в статистической игре без проведения эксперимента: L(a1, ٤ ) =12.7* * * *0.5=14.17 L(a2, ٤ ) =13.7* * * *0.5=15.17 L(a3, ٤ ) =14.7* * * *0.5=16.17 L(a4, ٤ ) =15.7* * * *0.5=17.17 Поиск наилучшей стратегии компании с проведением эксперимента: R(d, θ1) = 12.7* * * *0.3=16.29 R(d, θ2) = 13.7* * * *0.3=19.28 R(d, θ3) = 14.7* * * *0.3=12.74 R(d, θ4) = 15.7* * * *0.1=11.69

21 4. Решение статистических игр Вывод: Байесовское действие в нашей статистической игре без проведения эксперимента будет действие, удовлетворяющее стратегии a1, которое дает минимальные потери. В статистической игре с проведением эксперимента байесовским действием будет стратегия a4, которая дает минимальный риск.

22 Заключение: В курсе Теории игр мы научились находить оптимальные стратегии игроков при игре с чистыми стратегиями, оптимальные стратегии игроков при игре со смешанными стратегиями, научились определять оптимальные стратегии в играх с природой, находить оптимальные стратегии в статистических играх без проведения эксперимента и с проведением единичного эксперимента.

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: