Сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом

Обновлено: 05.05.2024

Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:

· необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;

· некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.

Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный и кредитный процент, по облигациям и векселям).Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты не производят.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которую не выплачивают, а присоединяют к основной сумме капитала (вклада) в последующем платежном периоде. Процентная ставка — удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивают сумму процентов в расчете на единицу капитала (вклада). На практике процентная ставка выражает соотношение годовой суммы процентного дохода к объему основного долга.

Будущая стоимость денег (Future Value, FV) — сумма вложенных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом выбранной процентной ставки.

Настоящая стоимость денег (Present Value, PV) — сумма будущих денежных средств (вклада), приведенных с учетом конкретной процентной ставки к настоящему моменту времени.

Наращение стоимости (компаундинг — compounding) — процесс пересчета настоящей стоимости денежных средств (вклада) в их будущую стоимость в конкретном периоде времени путем добавления к первоначальной сумме начисленной величины процента.

Дисконтирование стоимости (discounting) — процесс приведения будущей стоимости денежных средств (вклада) к их настоящей стоимости путем исключения из будущей суммы соответствующей величины процента (дисконта). Посредством такой финансовой операции достигают сопоставимости текущей стоимости предстоящих денежных потоков.

Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляют процесс наращения или дисконтирования денежной суммы (вклада).

Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Декурсивный способ начисления процентов — способ, при котором проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов — это способ, при котором проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется учетной ставкой, или антисипативным процентом.

Наращение по простым процентам

Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях, срок проведения которых меньше года или равен ему.

Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

FV = PV(1 + r × n), (1)

где FV — будущая стоимость;

PV — первоначальная стоимость;

n — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

Дисконтирование по простым процентам

Существует два способа дисконтирования.

Математическое дисконтирование — способ, основанный на решении задачи, обратной определению будущей стоимости. При проведении расчетов здесь используется процентная ставка.

С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:

(4)

Доход банка (FV – PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):

(7)

(8)

Наращение по сложным процентам

Сложные проценты применяются, как правило, в финансовых операциях, срок проведения которых более года. При этом базой исчисления процентов является как исходная сумма финансовой операции, так и сумма уже накопленных к этому времени процентов.

Наращение по сложным процентам имеет вид:

FV_n = PV (1 + r) n . (16)

Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j / m. Тогда, если срок финансовой операции составляет n лет, выражение для определения наращенной суммы (16) примет вид:

(17)

При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FV_mn также возрастает.

Дисконтирование по сложным процентам

Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:

(22)

Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:

(23)

Использование сложной учетной ставки

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

Приведенные расчетные формулы описывают механизм влияния фактора времени на результат финансовых операций. Их использование позволит избежать ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег.

Финансовый менеджмент требует постоянного осуществления различного рода финансово-экономических расчетов, связанных с потоками денежных средств в разные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени.

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой обычно выступает норма ссудного процента (или процента).Иными словами, в соответствии с этой концепцией одна и та же сумма денег в разные периоды времени имеет разную стоимость; эта стоимость в настоящее время всегда выше, чем в любом будущем периоде.

Концепция стоимости денег во времени играет основополагающую роль в практике финансовых вычислений. Она предопределяет необходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосрочных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли, амортизационных отчислений, основной суммы долга и т.д.

Оценка стоимости денег с учетом фактора времени требует предварительного рассмотрения связанных с ней базовых понятий. Ниже изложено содержание основных из этих понятий.

ПРОЦЕНТ —сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный процент, кредитный процент, процент по облигациям, процент по векселям и т.п.).

ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ—сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не осуществляются. Начисление простого процента применяется, как правило, при краткосрочных финансовых операциях.

СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ —сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которая не выплачивается, а присоединяется к основной сумме капитала и в последующем платежном периоде сама

приносит доход. Начисление сложного процента применяется, как правило, при долгосрочных финансовых операциях (инвестировании, кредитовании и т.п.).

ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА (СТАВКА ПРОЦЕНТА)— удельный показатель, в соответствии с которым в установленные сроки выплачивается сумма процента в расчете на единицу капитала. Обычно процентная ставка характеризует соотношение годовой суммы процента и суммы предоставленного (заимствованного) капитала (выраженное в десятичной дроби или в процентах)

БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ— сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента (процентной ставки).

НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ— сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определенной ставки процента (процентной ставки) к настоящему периоду времени.

НАРАЩЕНИЕ СТОИМОСТИ (КОМПАУНДИНГ)— процесс приведения настоящей стоимости денег к их будущей стоимости в определенном периоде путем присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.

ДИСКОНТИРОВАНИЕ СТОИМОСТИ— процесс приведения будущей стоимости денег к их настоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответствующей суммы процентов (называемой „дисконтом").

ПЕРИОД НАЧИСЛЕНИЯ— общий период времени, в течение которого осуществляется процесс наращения или дисконтирования стоимости денежных средств.

ИНТЕРВАЛ НАЧИСЛЕНИЯ— обусловленный конкретный временной срок (в пределах общего периода начисления), в рамках которого рассчитывается отдельная сумма процента по установленной его ставке (осуществляется отдельный платеж процента).

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА (МЕТОД ПРЕ-НУМЕРАНДО ИЛИ АНТИСИПАТИВНЫЙ МЕТОД)— способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала.

ПОСЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА (МЕТОД ПОСТНУ-МЕРАНДО ИЛИ ДЕКУРСИВНЫЙ МЕТОД)— способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.

ДИСКРЕТНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК— поток платежей на вложенный капитал, имеющий четко ограниченный период начисления процентов и конечный срок возврата основной его суммы.

НЕПРЕРЫВНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК— поток платежей на вложенный капитал, период начисления процентов по которому не ограничен, а соответственно не определен и конечный срок возврата основной его суммы.

АННУИТЕТ (ФИНАНСОВАЯ РЕНТА)— длительный поток платежей, характеризующийся одинаковым уровнем процентных ставок на протяжении всего периода.

Система основных базовых понятий позволяет последовательно рассмотреть методический инструментарий оценки стоимости денег во времени в разрезе наиболее характерных вариантов осуществления такой оценки. Этот методический инструментарий дифференцируется в разрезе отдельных видов вычислений.

I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентамиспользует наиболее упрощенную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется следующая формула:

где — сумма процента за обусловленный период времени в

— первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;

— количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем обусловленном периоде времени;

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае будущая стоимость вклада с учетом начисленной суммы процента определяется по формуле:

Пример: Необходимо определить сумму простого процента за год при следующих условиях: первоначальная сумма вклада — 1000 усл. ден. ед.; процентная ставка, Выплачиваемая ежеквартально — 20%.

Подставляя эти значения в формулу, получим сумму процента: усл. ден. ед.; будущая стоимость вклада в этом случае составит:

Множитель называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше единицы.

2. При расчете суммы простого процента В процессе дисконтирования стоимости (т.е. суммы дисконта) используется следующая формула:

где — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам)

за обусловленный период времени в целом; 5— стоимость денежных средств;

— используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется по следующим формулам:

Пример: Необходимо определить сумму дисконта по простому проценту за год при следующих условиях: конечная сумма вклада определена 8 размере 1000 усл. ден. ед.; дисконтная ставка составляет 20% 8 квартал.

Подставляя эти значения в формулу расчета суммы дисконта, получим:

Соответственно настоящая стоимость вклада, необходимого для получения через год 1000 усл. ден. единиц, должна составить:

Используемый в обеих случаях множитель называется

дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

II. Методический инструментарий оценки стоимости денег по сложным процентамиспользует более обширную и более усложненную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:

где — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его

наращении по сложным процентам;

— первоначальная сумма вклада;

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

— количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма процента в этом случае определяется по формуле:

Пример: Необходимо определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при следующих условиях: первоначальная стоимость вклада — 1000 усл. ден. ед.; процентная ставка, используемая при расчете суммы сложного процента, установлена в размере 20% в квартал; общий период инвестирования — один год.

Подставляя эти показатели в вышеприведенные формулы, получим:

Будущая стоимость вклада =

Сумма процента усл. ден. ед.

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процентам используется следующая формула:

где — первоначальная сумма вклада;

— будущая стоимость вклада при его наращении, обусловленная условиями инвестирования;

— используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

Соответственно сумма дисконта (0_С) в этом случае определяется по формуле:

Пример: необходимо определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за год при следующих условиях: будущая стоимость денежных средств определена в размере 1000 усл. ден. ед.;

используемая для дисконтирования ставка сложного процента составляет 20% в квартал.

Подставляя эти значения в формулы, получим:

Настоящая стоимость =

Сумма дисконта усл. ден. ед.

3. При определении средней процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула:

где — средняя процентная ставка, используемая в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

— будущая стоимость денежных средств;

— настоящая стоимость денежных средств;

Пример: необходимо определить годовую ставку доходности облигации при следующих условиях: номинал облигации, подлежащий погашению через три года, составляет 1000 усл. ден. ед.;

цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмиссии, составляет 600 усл. ден. ед.

Подставляя эти значения в формулу, получим:

годовая ставка доходности =

4. Длительность общего периода платежей, выраженная количеством его интервалов, в расчетах стоимости денежных

средств по сложным процентам определяется путем логарифмирования по следующей формуле:

где — будущая стоимость денежных средств;

— настоящая стоимость денежных средств;

— используемая процентная ставка, выраженная

5. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам осуществляется по формуле:

где — эффективная среднегодовая процентная ставка при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

— периодическая процентная ставка, используемая при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

— количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж по периодической процентной ставке на протяжении года.

Пример: необходимо определить эффективную среднегодовую процентную ставку при следующих условиях: денежная сумма 1000 усл. ден. ед. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года; годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуществляется начисление процента, составляет 10% (0,1).

Подставляя эти значения в формулу, получим:

Результаты расчетов показывают, что условия помещения денежной суммы сроком на 2 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов, равнозначны условиям начисления этих процентов один раз в год под 10,38% годовых (10,38% составляет размер эффективной или сравнимой процентной ставки).

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает боль-

шое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвестировать деньги под меньшую ставку процента, но с большим числом интервалов в течение предусмотренного периода платежа.

Пример: Перед инвестором стоит задача разместить 100 усл. ден. ед. на депозитный Вклад сроком на один год. Один банк предлагает инвестору выплачивать доход по сложным процентам В размере 23% в квартал: Второй — В размере 30% один раз В четыре месяца; третий — в размере 45% два раза В году; четвертый — в размере 100% один раз в году.

Для того, чтобы определить, какой Вариант инвестирования лучше, построим следующую таблицу:

Управление финансами требует постоянного осуществления различного рода финансово-экономических расчетов, связанных с потоками денежных средств в разные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени.

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой обычно выступает норма ссудного процента (или процента). Иными словами, стоимость денег в настоящее время всегда выше, чем в любом будущем периоде. Это предопределяет необходимость учета фактора времени при осуществлении долгосрочных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате.

Для оценки стоимости денег с учетом фактора времени требуется знать связанные с ней базовые понятия, к основным из которых относятся:

· Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах.

· Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не осуществляются. Применяется, как правило, при краткосрочных финансовых операциях.

· Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которая не выплачивается, а присоединяется к основной сумме капитала и в последующем платежном периоде сама приносит доход.

· Процентная ставка (ставка процента) — характеризует соотношение суммы процента и суммы предоставленного (заимствованного) капитала.

· Будущая стоимость денег — сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом ставки процента.

· Настоящая стоимость денег — сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определенной процентной ставки к настоящему периоду времени.

· Наращение стоимости — приведение настоящей стоимости денег к их будущей стоимости в определенном периоде путем присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.

· Дисконтирование стоимости — приведение будущей стоимости денег к их настоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответствующей суммы процентов ( «дисконта»).

· Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляется процесс наращения или дисконтирования стоимости денежных средств.

· Предварительный метод начисления процента — способ расчета, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала.

· Последующий метод начисления процента — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.

· Дискретный денежный поток — поток платежей на вложенный капитал, имеющий четко ограниченный период начисления процентов и конечный срок возврата основной суммы.

· Непрерывный денежный поток — поток платежей на вложенный капитал, период начисления процентов по которому не ограничен, а соответственно не определен и конечный срок возврата основной его суммы.

· Аннуитет (финансовая рента) — поток платежей, характеризующийся одинаковым уровнем процентных ставок на протяжении всего периода.

Среди изложенных базовых понятий, наиболее сложным является понятие процентной ставки:

По обеспечению начисления определенной годовой суммы процента различают периодическую и эффективную процентные ставки.

Периодическая ставка процента при обеспечении определенной годовой суммы процента может варьировать как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов платежей.

Эффективная ставка процента характеризует ее среднегодовой уровень, определяемый отношением годовой суммы процента, начисленного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.

Система основных базовых понятий позволяет рассмотреть методический инструментарий оценки стоимости денег во времени в разрезе наиболее характерных вариантов осуществления такой оценки:

I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентам.

1. При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется следующая формула:

где — сумма процента за обусловленный период времени в целом;

— первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;

— количество интервалов расчета процентных платежей, в общем, периоде времени;

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

2. При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования стоимости (т.е. суммы дисконта) используется следующая формула:

где — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам) за период времени в целом;

— стоимость денежных средств;

— количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем периоде времени;

— используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется по следующей формуле:

Используемый в обоих случаях множитель называется дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

II. Методический инструментарий оценки стоимости денег по сложным процентам использует более обширную и более усложненную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:

где — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его наращении по сложным процентам;

— первоначальная сумма вклада;

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

Соответственно сумма процента в этом случае определяется по формуле:

где — первоначальная сумма вклада;

— будущая стоимость вклада при его наращении, обусловленная условиями инвестирования;

— используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

Соответственно сумма дисконта в этом случае определяется по формуле

— будущая стоимость денежных средств;

— настоящая стоимость денежных средств;

4. Длительность общего периода платежей, выраженная количеством его интервалов в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам определяется путем логарифмирования по следующей формуле:

где — будущая стоимость денежных средств;

— настоящая стоимость денежных средств

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода.

Используемые в процессе оценки стоимости денег множители называются соответственно множителем наращения и множителем дисконтирования суммы сложных процентов:

III. Методический инструментарий оценки стоимости денег при аннуитете.

1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:

где — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);

— член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

где — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),

— член аннуитета характеризующий размер отдельного платежа,

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью,

— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:

где — настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо)

— член аннуитета характеризующий размер отдельного платежа,

— используемая процентная дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью,

— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:

где — стоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);

— член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа

— используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;

— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем условленном периоде времени.

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:

где — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости);

— будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

— количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:

где — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной текущей его стоимости);

— будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

— количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:

где - будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

- член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

- множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Соответственно, формула для определения настоящей стоимости аннуитета имеет вид:

где — настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);

— член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

— дисконтный множитель аннуитета определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Из принципа временной стоимости денег (Time Value of Money, TVM) вытекает два важных следствия:

· необходимость учета фактора времени, в особенности при проведении долгосрочных финансовых операций;

· некорректность суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.

Рассмотрим отдельные элементы методического инструментария стоимости денег.

Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Наращение по простым процентам

Наращение по годовой ставке простых процентов осуществляется по формуле:

FV = PV(1 + r × n), (1)

где FV — будущая стоимость;

PV — первоначальная стоимость;

n — число периодов (лет);

r — процентная ставка.

Дисконтирование по простым процентам

Существует два способа дисконтирования.

С учетом принятых ранее обозначений формула дисконтирования по ставке r будет иметь вид:

(4)

Доход банка (FV – PV) называют дисконтом, а используемую норму приведения r — декурсивной ставкой процентов.

Определение процентной ставки и срока проведения операции

Величина процентной ставки r или учетной ставки d может быть определена из соотношений (1) и (5):

(7)

(8)

Наращение по сложным процентам

Наращение по сложным процентам имеет вид:

FV_n = PV (1 + r) n . (16)

Наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов или капитализацию.

(17)

При увеличении числа периодов начисления m будущая величина FV_mn также возрастает.

Дисконтирование по сложным процентам

Рассмотрим использование при математическом дисконтировании сложных процентных ставок:

(22)

Если проценты будут начисляться m раз в году, то формула (22) примет вид:

(23)

Использование сложной учетной ставки

Для расчета операции дисконтирования по сложной учетной ставке используется формула:

Процент, процентный доход - заранее заявленный (установленный ) доход, в т.ч. в виде дисконта, полученный по долговому обязательству любого вида (независимо от способа его оформления). Процент представляет собой денежное вознаграждение кредитора, плату за пользование кредитом. Без процента нет кредита.

В экономической теории существует традиция при характеристике денежно- кредитных отношений вместо термина «процентный доход» использовать термин «ссудный процент». При этом в понятие «ссудный процент» вкладывается определенный смысл с точки зрения его происхождения. Ссудный процент представляет собой доход на ссудный капитал, что подчеркивает денежную природу процента. Ссудный процент - это цена кредита (ссудного капитала). Количественно по отношению к привлекаемым депозитам ссудный процент ( i_k ) равен:

где i_d - процент, выплачиваемый по депозитам;

т - банковская маржа.

Ссудный процент - атрибут, неотъемлемый элемент кредитных отношений. Он выполняет три функции в процессе народнохозяйственного оборота богатства общества:

1) распределение ссудного капитала;

2) распределение потребления во времени;

3) распределение и перераспределение доходов между группами предпринимателей, потребителей.

Ставка (или норма) ссудного процента (часто говорят просто о процентной ставке) - это отношение процентного дохода к величине кредитной ссуды. Она показывает доходность кредитного инструмента, а именно то, насколько увеличится каждая денежная единица, предоставленная в кредит, в будущем. Ставка ссудного процента позволяет сопоставлять доходы от предоставления в кредит различных по величине и по условиям предоставления сумм денег. Количественно ставка ссудного процента измеряется отношением величины ссудного процента к основной сумме кредита (телу кредита). Предположим, в кредит была предоставлена сумма Р с условием, что через определенное договором время, например, через один год, будет возвращена сумма F , которая включает основную сумму кредита плюс проценты. Тогда ставка ссудного процента, или процентная ставка r, рассчитывается по формуле:

В данном случае процентный доход (разность между F и Р) сопоставляется с основной суммой кредита (телом кредита).

Доходность кредитного инструмента можно рассчитать путём отнесения процентного дохода к общей сумме погашения долга (F). Доходность, рассчитанную таким способом, называют доходностью на основе дисконта, или дисконтной доходностью, а ставку процента - учетной, или дисконтной, ставкой ( d ). Она рассчитываете по формуле:

Согласно концепции временной стоимости денег, деньги, полученные в будущем, стоят дешевле денег в настоящий момент времени, так как имеющиеся деньги можно предоставить в кредит под проценты. Допустим, ставка ссудного процента равна 10%. Тогда 10 руб., положенные в банк, через год превратятся в 11 руб., через два года - в 12 руб. 10 коп. и т.д. В общем виде, если процент равен величине r , то каждый рубль через п лет будет стоить (1 + г) n руб.

Процесс подсчета того, сколько стоят сегодня деньги, которые будут получены в будущем, называется дисконтированием будущих доходов, или приведением будущих доходов к текущему моменту времени.

Выражение (множитель дисконтирования) показывает обменный курс денег, полученных в настоящем, на деньги, полученные в будущем.

Мерой процентных ставок выступает показатель «доходность к погашению». Доходность к погашению (r) - это такая ставка ссудного процента, при которой текущая стоимость будущих поступлений по кредитному инструменту равна его сегодняшней стоимости. В общем случае сегодняшняя стоимость денежной суммы ( PV ), которая будет получена через n лет при данной процентной ставке r ( FV ), определяется по формуле:

Предположим, в кредит предоставлена сумма в 100 руб. на условиях возврата через год суммы в 110 руб. Доходность к погашению составит 0,1, или 10%.

Наряду с термином «сегодняшняя стоимость» будущих доходов ( PV ) в экономической литературе часто используют термины «приведенная стоимость» или «дисконтированная стоимость».

Простые и сложные проценты.

Начисление на депозит (краткосрочный кредит) простых процентов применяется в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются вкладчику (начисляются однократно). Формула наращения простыми процентами имеет вид:

где F - наращенная сумма;

Р - исходный капитал;

п - срок начисления процентов;

r - процентная ставка.

Тогда процентный доход (I) равен:

В условиях инфляции происходит обесценение самого депозита, тела кредита. Поэтому важно определить реальную величину процентного дохода, понять, насколько процент компенсирует снижение покупательной способности вложенных средств. Если за время t была получена некоторая наращенная сумма F , а индекс цен составил величину I_p ( t ) , то реально полученная вкладчиком (кредитором) сумма с учетом ее обесценения составит:

Считается, что депозит сделан (кредит выдан) на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала Р (как для простых процентов), а с общей суммы. включающей ранее начисленные проценты. В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их основной сумме и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Таким образом, размер ссуженного капитала будет равен:

Автор статьи

Куприянов Денис Юрьевич

Юрист частного права

Страница автора

Читайте также: